La Identidad de Euler

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La identidad de Euler es uno de los resultados más poderosos de la matemática, ya que combina cinco de los números más importantes: e,\ i,\ \pi,\ 1 y 0 en una sola ecuación; e que es igual a la constante de Euler (2.7182…), \pi  es la razón entre una circunferencia y su radio (3.1415…), i es la unidad imaginaria (i=\sqrt{-1}), 1 y 0.

Fue postulada por uno de los más prolíficos matemáticos que ha existido, Leonhard Euler. Él publicó más de 800 artículos de investigación a lo largo de su vida, muchos de ellos mientras estaba ciego.
Motivación:

La principal motivación de esta identidad viene dada por el círculo trigonométrico en el plano complejo y resulta de calcular exponenciales para números complejos.
Euler planteó la siguiente fórmula para calcular dichas exponenciales:

e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi

Gracias a esta fórmula la identidad se obtiene de calcular el exponencial de la unidad imaginaria por \pi, haciendo uso ella y evaluando las funciones trigonométricas seno y coseno en \pi se obtiene:

e^{i\pi}= -1.

Si igualamos esta ecuación a cero obtenemos:

e^{i\pi}+1=0,

la identidad de Euler. Su resultado podrá parecer sencillo a simple vista. El físico Richard Feynman dice:

La fórmula de Euler es la fórmula más importante en la matemática.

y su importancia radica en la habilidad de unir múltiples aspectos de la matemática, algo inimaginable previo a la consecución de Euler.

Fuentes: Michel Alba. 10 Coolest Mathematics Results. 2013.

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Geometría no Euclidiana

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Otra parte de la matemática que quizá recuerdes del colegio es la Geometría, la que más nos es familiar (ya que no existe una sola) es la llamada Geometría Euclidiana, la cual está basada en 5 evidentes resultados (axiomas). Es la Geometría regular de líneas y puntos que puede ser dibujada en una pizarra, y por mucho tiempo fue considerada la única Geometría en la cual se puede trabajar. A continuación presentamos los cinco axiomas de esta Geometría:

  1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
  2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
  3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
  4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
  5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Sin embargo, esos resultados evidentes que Euclides planteó 2000 años atrás, no fueron tan evidentes para otros matemáticos. El último axioma, conocido como el axioma de las paralelas, nunca se sentó bien entre los matemáticos. Un equivalente a este axioma es:

Por un punto exterior a una recta puede trazarse una y solo una paralela.

A inicios del siglo XVIII un nuevo y audaz  enfoque fue intentado: simplemente el quinto axioma fue cambiado por algo más. En lugar de destruir el sistema entero de la Geometría, un nuevo sistema fue descubierto el cual es llamado Geometría Hiperbólica o Geometría de BolyaiLobachevski. Esto causó un cambio completo de paradigma en la comunidad científica, y abrió las puertas para diferentes tipos de Geometría no Euclidiana. Uno de los más prominentes tipos de Geometría no Euclidiana es la Geometría Riemanniana, la cual es usada para describir nada más que la Teoría de la Relatividad de Einstein, es decir ¡nuestro universo no respeta la Geometría Euclidiana!

En estas nuevas Geometrías, suceden cosas algo extrañas, por ejemplo, en la siguiente imagen vemos triángulos dibujados en cada Geometría.

Picture 3

De abajo hacia arriba, la primera es la usual, en la cual, por un punto exterior a una recta pasa una y solo una paralela. Aquí, la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

La segunda, es la Geometría Hiperbólica, en la cual, por un punto exterior a una recta pasan ¡infinitas paralelas! Aquí, la suma de los ángulos internos de un triángulo es ¡menor a 180°!

Finalmente, tenemos la Geometría Elíptica, en la cual, por un punto exterior a una recta ¡no pasa ninguna paralela! Aquí, la suma de los ángulos internos de un triángulo es ¡mayor a 180°!

Fuentes: Michel Alba. 10 Coolest Mathematics Results. 2013.

El Último Teorema de Fermat

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¿Recuerdas el Teorema de Pitágoras en el colegio? Funciona para triángulos rectángulos y dice que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de su hipotenusa (x^2+y^2=z^2).

El teorema más famoso de Pierre Fermat dice que la misma ecuación no es cierta si reemplazamos la potencia (dos) por cualquier número mayor que dos, siempre y cuando x,\ y\text{ y }z sean enteros positivos es decir:

x^n+y^n\neq z^n \text{ para todo }x,y,z\in\mathbb{N} \text{ y }n>2.

El mismo Fermat escribió: “He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla”. Lo cual resulto muy mal ya que este problema quedo abierto por 358 años, desde 1637 año en que Fermat lo propuso hasta 1995 año en el que el Matemático Andrew Wiles lo demostró.

El teorema fue demostrado parcialmente a lo largo de esos 358 años, a continuación presentamos una cronología:

  • 1665: Muere Fermat sin dejar constancia de su demostración.
  • 1753: Leonhard Euler demostró el caso n = 3.
  • 1825: Adrien-Marie Legendre demostró el caso para n = 5.
  • 1839: Lamé demostró el caso n=7.
  • 1843: Ernst Kummer afirma haber demostrado el teorema pero Dirichlet encuentra un error.
  • 1995: Andrew Wiles publica la demostración del teorema.

Para finalizar veamos una curiosidad respecto al teorema:

En el año 1995 el mismo año en que fue demostrado se estrena el capítulo La casita del horror VI de la famosa serie Los Simpsons, en la escena cuando homero salta a otra dimensión (la tercera) aparece la siguiente igualdad:

20090625-homero3dLa cual resultaría ser una contradicción del Teorema de Fermat, pero existe un error en el cálculo de esta igualdad, un error de aproximación para ser más específicos. Analicemos esta igualdad, con sus 40 dígitos.

1782^{12}+ 1841^{12}= 2541210258614589176288669958142428526657

1922^{12}= 2541210259314801410819278649643651567616.

Como vemos la suma de las dos primeras potencias se parece mucho con la tercera potencia, son iguales en sus primeras nueve cifras  y si redondeamos estos números a 10 cifras (muchas calculadoras trabajan con este número de cifras de aproximación) son iguales.

Fuentes:

La Paradoja de Russell

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A comienzos del siglo XX, muchas personas estaban interesadas en una nueva rama de la matemática llamada Teoría de Conjuntos, básicamente un conjunto es una colección de objetos. El pensamiento en ese momento era que cualquier objeto podía ser convertido en un conjunto por ejemplo: El conjunto de todos los tipos de frutas, el conjunto de todos los Presidentes del Ecuador, etc. Adicionalmente, estos conjuntos importantes pueden contener otros conjuntos (El conjunto de todos los Presidentes nacidos en Quito).

En 1901, el famoso Matemático Bertrand Russell causó un gran revuelo cuando se dio cuenta que esta forma de pensar tenía un defecto fatal: no cualquier objeto puede ser convertido en conjunto.

Russell describió el conjunto que contiene a todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, a este conjunto se denominó El Conjunto de Russell. Entonces ¿qué sucede con el Conjunto de Russell? Este no está contenido en sí mismo, así que debe ser incluido en el Conjunto de Russell. Pero esperen… Ahora está contenido en sí mismo, así que naturalmente debemos sacarlo. Pero ahora debemos volverlo a colocar… y seguir con este proceso. Esta paradoja lógica causó una completa reformulación de la Teoría de Conjuntos, una de las ramas más importantes en la matemática actualmente, a continuación presentamos un ejemplo de esta paradoja.

La paradoja del Barbero

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet, diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces, puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto, ¡no debería afeitarme!, Pero, si por el contrario no me afeito, entonces, algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.

Fuente: Michel Alba. 10 Coolest Mathematics Results. 2013.

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El Teorema del Punto Fijo de Brouwer

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Este teorema es un resultado de una rama de la Matemática conocida como Topología y fue enunciado por el Matemático Luitzen Brouwer. A pesar de que su enunciado puede ser un tanto abstracto tiene varias implicaciones fascinantes en el mundo real. Supongamos que tenemos una imagen, por ejemplo La Mona Lisa, y sacamos una copia de ella, nosotros podemos entonces modificar de cualquier forma a esta imagen (agrandarla, achicarla, rotarla, etc.). El Teorema del Punto Fijo de Brouwer dice que si colocamos esta copia sobre nuestra imagen original, debe haber al menos un punto en la copia que es exactamente igual a un punto en la imagen original. En nuestro ejemplo, este puede ser parte del ojo de La Mona Lisa, o su sonrisa, pero debe existir.

Esto también funciona para imágenes en tres dimensiones. Imaginemos que tenemos un vaso con agua y tomamos una cuchara y agitamos tanto como queramos, por el Teorema del Punto Fijo de Brouwer, habrá al menos una molécula de agua exactamente en el mismo lugar donde se encontraba antes de que empezamos a agitar.

Fuente: Michel Alba. 10 Coolest Mathematics Results. 2013.

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EL Teorema de los 4 Colores

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El Teorema de los Cuatro Colores fue enunciado por primera vez en 1852 por el Matemático Francis Guthrie, quien intentaba dar color a un mapa de todos los condados de Inglaterra. Él descubrió que únicamente se necesita un máximo de cuatro colores para asegurarse de que ningún condado vecino tenga el mismo color. Guthier se preguntó si esto era cierto para cualquier mapa, y esta pregunta se convirtió en un problema matemático que no fue resuelto por años.

En 1976 (más de un siglo transcurrido desde su planteamiento), este problema fue finalmente resuelto por los matemáticos Kenneth Appel y Wolfgang Haken. La demostración que ellos realizaron fue un tanto compleja y se basó parcialmente en la computación. Ellos concluyeron que cualquier mapa político solo necesita de cuatro colores para pintar individualmente cada estado (provincia o condado) tal que estados que tienen el mismo color no sean fronterizos.

Puedes encontrar más información sobre el tema aquí.

 

Fuente: Michel Alba. 10 Coolest Mathematics Results. 2013.