La Identidad de Euler

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La identidad de Euler es uno de los resultados más poderosos de la matemática, ya que combina cinco de los números más importantes: e,\ i,\ \pi,\ 1 y 0 en una sola ecuación; e que es igual a la constante de Euler (2.7182…), \pi  es la razón entre una circunferencia y su radio (3.1415…), i es la unidad imaginaria (i=\sqrt{-1}), 1 y 0.

Fue postulada por uno de los más prolíficos matemáticos que ha existido, Leonhard Euler. Él publicó más de 800 artículos de investigación a lo largo de su vida, muchos de ellos mientras estaba ciego.
Motivación:

La principal motivación de esta identidad viene dada por el círculo trigonométrico en el plano complejo y resulta de calcular exponenciales para números complejos.
Euler planteó la siguiente fórmula para calcular dichas exponenciales:

e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi

Gracias a esta fórmula la identidad se obtiene de calcular el exponencial de la unidad imaginaria por \pi, haciendo uso ella y evaluando las funciones trigonométricas seno y coseno en \pi se obtiene:

e^{i\pi}= -1.

Si igualamos esta ecuación a cero obtenemos:

e^{i\pi}+1=0,

la identidad de Euler. Su resultado podrá parecer sencillo a simple vista. El físico Richard Feynman dice:

La fórmula de Euler es la fórmula más importante en la matemática.

y su importancia radica en la habilidad de unir múltiples aspectos de la matemática, algo inimaginable previo a la consecución de Euler.

Fuentes: Michel Alba. 10 Coolest Mathematics Results. 2013.

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