Geometría no Euclidiana

Estándar

Otra parte de la matemática que quizá recuerdes del colegio es la Geometría, la que más nos es familiar (ya que no existe una sola) es la llamada Geometría Euclidiana, la cual está basada en 5 evidentes resultados (axiomas). Es la Geometría regular de líneas y puntos que puede ser dibujada en una pizarra, y por mucho tiempo fue considerada la única Geometría en la cual se puede trabajar. A continuación presentamos los cinco axiomas de esta Geometría:

  1. Dados dos puntos se puede trazar una recta que los une.
  2. Cualquier segmento puede prolongarse de manera continua en cualquier sentido.
  3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.
  4. Todos los ángulos rectos son congruentes.
  5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma ángulos internos menores a dos ángulos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Sin embargo, esos resultados evidentes que Euclides planteó 2000 años atrás, no fueron tan evidentes para otros matemáticos. El último axioma, conocido como el axioma de las paralelas, nunca se sentó bien entre los matemáticos. Un equivalente a este axioma es:

Por un punto exterior a una recta puede trazarse una y solo una paralela.

A inicios del siglo XVIII un nuevo y audaz  enfoque fue intentado: simplemente el quinto axioma fue cambiado por algo más. En lugar de destruir el sistema entero de la Geometría, un nuevo sistema fue descubierto el cual es llamado Geometría Hiperbólica o Geometría de BolyaiLobachevski. Esto causó un cambio completo de paradigma en la comunidad científica, y abrió las puertas para diferentes tipos de Geometría no Euclidiana. Uno de los más prominentes tipos de Geometría no Euclidiana es la Geometría Riemanniana, la cual es usada para describir nada más que la Teoría de la Relatividad de Einstein, es decir ¡nuestro universo no respeta la Geometría Euclidiana!

En estas nuevas Geometrías, suceden cosas algo extrañas, por ejemplo, en la siguiente imagen vemos triángulos dibujados en cada Geometría.

Picture 3

De abajo hacia arriba, la primera es la usual, en la cual, por un punto exterior a una recta pasa una y solo una paralela. Aquí, la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180°.

La segunda, es la Geometría Hiperbólica, en la cual, por un punto exterior a una recta pasan ¡infinitas paralelas! Aquí, la suma de los ángulos internos de un triángulo es ¡menor a 180°!

Finalmente, tenemos la Geometría Elíptica, en la cual, por un punto exterior a una recta ¡no pasa ninguna paralela! Aquí, la suma de los ángulos internos de un triángulo es ¡mayor a 180°!

Fuentes: Michel Alba. 10 Coolest Mathematics Results. 2013.

Anuncios

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s